△ABCを点Xが分割しています。△XBC, △XCA, △XABの面積をそれぞれとすると、点Xの位置ベクトルは、A, B, Cの位置ベクトルで、次のように表せます。

同一直線上にない3点A, B, Cで定まる平面上の点Pの位置ベクトルをとすると、

三角形の五心の位置ベクトルについてまとめます。

△ABCの頂点A, B, Cおよび重心Gの位置ベクトルをそれぞれとすると、

空間の1点Oを通る4直線で、どの3直線も同一平面上にないようなものを考える。このとき、4直線のいずれもO以外の点で交わる平面で、4つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ。

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

零ベクトルとは、ベクトル演算において

複素数値関数が「正規直交関数系」をなすとは、

複素数値関数の「正規化」または「規格化」とは、 \begin{equation} \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b ||A(x)||^2 \, dx = \int_a^b \overline{f(x)} f(x) \, dx = 1 \end{equation}とすることをいいます。 つまり、自身との内積、ノルムが1となること…

「ノルム」を突き詰めるといろいろ複雑ですが、ここでは 平方和の平方根 に限定して話を進めます。

複素数値関数の「直交」とは、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b \overline{A(x)} B(x) \, dx = 0 \end{equation}となることをいいます。 つまり、内積が0となることをいいます。式中のオーバーラインは、複素共役(共軛)を意味します…

複素数値関数の「内積」は、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b \overline{A(x)} B(x) \, dx \end{equation}と定義します。式中のオーバーラインは、複素共役(共軛)を意味します。 共軛複素数 - 数式で独楽する

関数が「正規直交関数系」をなすとは、

関数の「正規化」または「規格化」とは、 \begin{equation} \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b \{ A(x) \}^2 \, dx = 1 \end{equation}とすることをいいます。 つまり、自身との内積、ノルムが1となることをいいます。

「ノルム」を突き詰めるといろいろ複雑ですが、ここでは 平方和の平方根 に限定して話を進めます。関数の「ノルム」は、 \begin{equation} ||A(x)||^2 = \langle A(x), A(x) \rangle = \int_a^b \{ A(x) \}^2 \, dx \end{equation}です。

(1) が無理数であることを証明せよ。(2) は有理数を係数とするの多項式で、を満たしているとする。このときはで割り切れることを示せ。

関数の「直交」とは、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b A(x) B(x) \, dx = 0 \end{equation}となることをいいます。 つまり、内積が0となることをいいます。

関数の「内積」は、 \begin{equation} \langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b A(x) B(x) \, dx \end{equation}と定義します。

正四面体OABCにおいて、点P, Q, Rをそれぞれ辺OA, OB, OC上にとる。ただしP, Q, Rは正四面体OABCの頂点とは異なるとする。△PQRが正三角形ならば、3辺PQ, QR, RPはそれぞれ3辺AB, BC, CAに平行であることを示せ。

座標空間における3つの直線を考える。は点Aを通り、ベクトルに平行な直線である。

四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ。

$xvz$空間の3点A(1, 0, 0), B(0, -1, 0), C(0, 0, 2)を通る平面αに関して点P(1, 1, 1)と対称な点Qの座標を求めよ。ただし、点Qが平面αに関して点Pと対称であるとは、線分PQの中点Mが平面α上にあり、直線PMがPから平面αに下ろした垂線となることである。

個の複素数の変数より、 重複を許して適当に2個取り出して、 片方を複素共軛にして積をとり、 さらに適当に定数(複素数)を乗じ、 和をとったもの を「エルミート2次形式」といいます。数式で記述すると、 \begin{equation} Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_…

四面体OABCを考える。点D, E, F, G, H, Iはそれぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問いに答えよ。(1) とが平行ならば、AE:EB=CF:FBであることを示せ。(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき、これら…

四面体OABCを考える。点D, E, F, G, H, Iはそれぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問いに答えよ。(1) とが平行ならば、AE:EB=CF:FBであることを示せ。(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき、これら…

個の変数より、 重複を許して適当に2個取り出して積をとり、 さらに適当に定数を乗じ、 和をとったもの を「2次形式」といいます。

本稿では、対角化の具体例を見ていきます。 行列の対角化 - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{equation}を対角化します。行列$A$は対称行列です。 対称行列とエ…

本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。 固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する\begin{equation} A = \left( \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array} \right) \end{equation}の固有値・固有ベ…