ベクトル
曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトルの変化を考えます。
曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトルの変化を考えます。
時刻、位置で滑らかに運動している物体の速度は
質点の円運動において、
四角形ABCDを底面とする四角錐OABCDはを満たしており、0と異なる4つの実数に対して4点P, Q, R, Sを
正三角形ABCの辺AB上に点が、辺BC上に点が、辺CA上に点があり、どの点も頂点に一致していないとする。このとき三角形の重心と三角形の重心が一致すれば、が成り立つことを示せ。
辺の長さがAB=3, AC=4, BC=5, AD=6. BD=7, CD=8である四面体ABCDの体積を求めよ。
三角形ABCと点Pに対して、次の2つの条件は同値であることを証明せよ。
四面体OABCは次の2つの条件
平面ベクトルに対して実数を対応させる写像が次の性質(*)を持っている。
△ABCを点Xが分割しています。△XBC, △XCA, △XABの面積をそれぞれとすると、点Xは、次のように表すことができます。
△ABCを点Xが分割しています。点Xの位置ベクトルがA, B, Cの位置ベクトルを用いて、
△ABCと点Xが \begin{equation} p \, \overrightarrow{\mathrm{XA}} +q \, \overrightarrow{\mathrm{XB}} +r \, \overrightarrow{\mathrm{XC}} = \vec{0} \end{equation}を満たすとき、
△ABCと点Pがあり、を満たしている。以下の問に答えなさい。
2次元ベクトルが
四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をGとし、線分OGをに内分する点をPとする。また、直線APと面OBCとの交点をA'、直線BPと面OCAとの交点をB'、直線CPと面OABとの交点をC'とする。このとき三角形A'B'C'は三角形ABCと相似であることを示し、相似比を求めよ。
四面体OABCが \begin{eqnarray} && \mathrm{OA} = 4 \\ && \mathrm{OB = AB = BC} =3 \\ && \mathrm{OC = AC} = \sqrt{3} \end{eqnarray}を満たしているとする。Pを辺BC上の点とし、△OAPの重心をGとする。このとき、次の各問に答えよ。
△ABCの内心をPとする。が成り立っている。このとき三角形は正三角形であることを示せ。
を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。
△ABCの頂点A, B, C、傍心IA, IB, ICの位置ベクトルをそれぞれとすると、
△ABCの頂点A, B, C、内心Iの位置ベクトルをそれぞれとすると、
△ABCに対し辺AB上に点Pを、辺BC上に点Qを、辺CA上に点Rを、頂点とは異なるようにとる。この3点がそれぞれの辺を動くとき、この3点を頂点とする三角形はどのような範囲を動くか図示せよ。
点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), Pとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数が存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。
点Oを原点とする座標空間の3点をA(0, 1, 2), B(2, 3, 0), Pとする。線分OPと線分ABが交点を持つような実数が存在することを示せ。またそのとき、交点の座標を求めよ。
△ABCの頂点A, B, C、傍心IA, IB, ICの位置ベクトルをそれぞれとすると、
点Oを中心とする円に内接する△ABCの3辺AB, BC, CAをそれぞれ2:3に内分する点をP, Q, Rとする。△PQRの外心が点Oと一致するとき、△ABCはどのような三角形か。
△ABCの頂点A, B, C、垂心Hの位置ベクトルをそれぞれとすると、
△ABCにおいて、辺BC上の点P、辺CA上の点Q、辺AB上の点Rが
△ABCの頂点A, B, C、内心Iの位置ベクトルをそれぞれとすると、
△ABCの頂点A, B, C、外心Pの位置ベクトルをそれぞれとすると、
