を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。

を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。

を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。

相加平均、相乗平均の関係 負でない個の数に対し \begin{equation} \frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \tag{1} \end{equation}

相加平均、相乗平均の関係 負でない個の数に対し \begin{equation} \frac{a_1 +a_2 +\cdots +a_n}{n} \geqq \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \tag{1} \end{equation}

3つの数の相加平均、相乗平均の関係 負でない数に対し \begin{equation} \frac{a +b +c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc} \end{equation}

「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。

1歩で1段または2段のいずれかで階段を昇るとき、1歩で2段昇ることは連続しないものとする。15段の階段を昇る昇り方は何通りあるか。

を相異なる正の実数とする。数列を \begin{equation} a_1 = 0, \qquad a_{n +1} = xa_n +y^{n +1} \quad (n = 1,2,3, \cdots) \end{equation}によって定めるとき、が有限の値に収束するような点の範囲を図示せよ。

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 \end{equation} 自然数の乗根のを増やしていくと、1に収束する、というものです。

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \end{equation} 乗根のを増やしていくと、1に収束する、というものです。

数列について \begin{equation} \lim_{n \to \infty} n^k x^n = 0 \quad (|x| \end{equation} 一般項がなる等比数列にを乗じて作った数列は、0に収束する、というものです。

数列について \begin{equation} \lim_{n \to \infty} nx^n = 0 \quad (|x| \end{equation} 一般項がなる等比数列にを乗じて作った数列は、0に収束する、というものです。

正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、は1以上の整数とする。

正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、は1以上の整数とする。

正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、は1以上の整数とする。

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

をを満たす行列とする(は実数)。自然数に対して平面上の点を

を互いに素、すなわち1以外の公約数をもたない正の整数とし、さらには奇数とする。

を互いに素、すなわち1以外の公約数をもたない正の整数とし、さらには奇数とする。

は2以上の整数であり、であるとき、不等式 \begin{equation} (1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_n) > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_n}{2^{n -1}} \right) \end{equation}が成立することを示せ。

自然数の2乗の逆数で和をとると、次のようになります。

円周率は、次のように表すことができます。

が正の実数のとき、を求めよ。

自然数の2乗の逆数で和をとると、次のようになります。

円周率は、次のように表すことができます。 \begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} &=& 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\ \frac{\pi}{4} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \end{eqnarray}

円周率は、次のように表すことができます。 \begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} &=& 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\ \frac{\pi}{4} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} \end{eqnarray}

2つの粒子が時刻0において△ABCの頂点Aに位置している。これらの粒子は独立に運動し、それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動しているとする。たとえば、ある時刻で点Cにいる粒子は、その1秒後に点Aまたは点Bにそれぞれの確率で移動する。この2つの粒子が時…

2つの関数を、とおく。から始め、各についてそれぞれ確率でまたはと定める。このときとなる確率を求めよ。