数列
極限を求めよ。
数列を \begin{equation} a_n = \frac{{}_{2n +1} C_n}{n!} \quad (n = 1, 2, \cdots) \end{equation}で定める。
次の等式が成り立つことを示せ。
を2以上の自然数とする。複素数がをみたすとき、は次の(ア)から(キ)のどれと等しくなるか。根拠を示して1つ選べ。
を正の数からなる数列とし、を正の実数とする。このとき、をみたす番号が存在することを証明せよ。
正の数からなる数列が次の条件(i), (ii)を満たすとき、を求めよ。
を自然数とする。平面内の、原点を中心とする半径の円の、内部と周をあわせたものをであらわす。次の条件(*)を満たす1辺の長さが1の正方形の数をとする。
\begin{equation} {{}_n C_0}^2 +{{}_n C_1}^2 +{{}_n C_2 }^2 +\cdots +{{}_n C_n}^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_0 -\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{(-1)^n \, {}_n C_n}{n +1} = \frac{1}{n +1} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_1 -2 \, {}_n C_2 +\cdots +(-1)^{n -1} n \, {}_n C_n = 0 \end{equation}
を2以上の自然数とする。をで割った余りをとする。すなわち、の多項式があって
【利息のはなし】○分の1年複利を考える - 数式で独楽する ネイピア数 - 数式で独楽する では、自然数に対して \begin{equation} \lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e \tag{1} \end{equation}であることを述べました。
\begin{equation} {}_n C_1 +2 \, {}_n C_2 +\cdots +n \, {}_n C_n = n \cdot 2^{n -1} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_0 +\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n}{n +1} = \frac{2^{n +1} -1}{n +1} \end{equation}
二項係数の関係 \begin{equation} {}_n C_r = {}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation} を用いると、二項係数を次々と求めることができます。
\begin{equation} {}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_2 +{}_n C_4 +\cdots = {}_n C_1 +{}_n C_3 +{}_n C_5 +\cdots = 2^{n -1} \end{equation}
\begin{equation} \sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3+\cdots = 0 \end{equation}
二項係数の性質をまとめます。
\begin{equation} {}_n C_k = {}_n C_{n -k} \end{equation}
\begin{equation} {}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n \end{equation}
2次元ベクトルが
を満たす最大の自然数を求めよ。ただし、(は自然対数の底)である。
数列を次のように定める。
数列を次の式
下図の三角柱ABC-DEFにおいて、Aを始点として、辺に沿って頂点を回移動する。すなわち
先頭車両から順に1からまで番号のついた両編成の列車がある。とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。
を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。
を実数として行列をと定める。とし、数列を次の式で定める。
