平面上の曲線上の点Pにおける接線を、Pを中心にして反時計回りに45°回転させて得られる直線をとする。とが相異なる3点で交わるような点Pの範囲を図示せよ。

曲線上を運動する物体の加速度は、単位接線ベクトルと主法線ベクトルで記述できます。両ベクトルは直交します。

曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトルの変化を考えます。

曲線上の微小な長さにおける単位接線ベクトルの変化を考えます。

時刻、位置で滑らかに運動している物体の速度は

\begin{equation} \int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0) \end{equation}

\begin{equation} \int \sqrt{x^2 +a^2} \, dx = \frac{1}{2} \, x \sqrt{x^2 +a^2} +\frac{1}{2} \, a^2 \log \left( x +\sqrt{x^2 +a^2} \right) +C \quad (a > 0) \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = \theta \end{equation}

アルキメデスの螺旋 \begin{equation} r = k \, \theta \end{equation}の長さは

(1) で定義された関数について導関数を求めよ。(2) 極方程式で定義される曲線の、の部分の長さを求めよ。

関数の増減表をつくり、のときの極限を求めよ。

ディラックのデルタ関数は \begin{equation} \delta (x) = \left \{ \begin{array}{cl} 0 & (x \ne 0) \\ \infty & (x = 0) \end{array} \right. \end{equation}

半径1の円周上に相異なる3点A, B, Cがある。

双曲線関数の不定積分(正接と余接) \begin{eqnarray} \int \tanh x \, dx &=& \log(\cosh x) + C \\ \int \coth x \,dx &=& \log |\sinh x| +C \end{eqnarray}

次の等式が成り立つことを示せ。

を2以上の自然数とする。複素数がをみたすとき、は次の(ア)から(キ)のどれと等しくなるか。根拠を示して1つ選べ。

双曲線関数の不定積分(正接と余接) \begin{eqnarray} \int \frac{dx}{\cosh^2 x} &=& \tanh x + C \\ \int \frac{dx}{\sinh^2 x} &=& -\coth x + C \end{eqnarray}

とし、で定義された関数を考える。のグラフより下側で軸より上側の部分の面積をを用いて表せ。ただし、は自然対数の底である。

とする。におけるの最大値および最小値を求めよ。

曲線のの部分をとする。上の点Pにおける接線と軸との交点をQとし、Pにおけるの法線と軸との交点をRとする。Pが上を動くとき、の最小値を求めよ。ただし、Oは原点とする。

座標平面上の曲線 \begin{equation} C: \quad y = x^3 -x \end{equation}を考える。

次の関数を考える。

曲線、軸および軸で囲まれる図形の面積をとする。とし、上の点Qと原点O、およびP、Rを頂点とする長方形の面積をとする。このとき、次の各問に答えよ。

として、関数をで定める。がの範囲を動くとき、の最大値を求めよ。

関数のグラフは、座標平面で原点に関して対称である。さらにこのグラフのの部分は軸が軸に平行で点を頂点とし原点を通る放物線と一致している。このときにおけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ。

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数がを満たし、さらに任意の実数に対してであって

すべての実数で定義され何回でも微分できる関数がを満たし、さらに任意の実数に対してであって

次の式で与えられる底面の半径が2、高さが1の円柱を考える。