複素数平面上の単位円に内接する正五角形で、1がその頂点の1つとなっているものを考える。この正五角形の辺を延長してできる直線の交点のうち、もとの正五角形の頂点以外のもので、実部、虚部がともに正であるものをとする。

を3以上の素数とする。また、を実数とする。(1) とをの式として表せ。

Oを原点とする座標空間において、不等式の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、を満たす部分をとする。

Oを原点とする座標空間において、不等式の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、を満たす部分をとする。

正の整数に対し、多項式を、に対してはとし、のときはで帰納的に定める。とおくとき、を求めよ。また、のときが収束する実数の範囲を求めよ。

座標空間内の4点O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 2, 3)を考える。

座標空間内の4点O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 2, 3)を考える。

のとき、 \begin{equation} \left( \frac{\beta^2 -4\beta +8}{\alpha^{n +2} -\alpha^{n +1} +2\alpha^n +4\alpha^{n -1} +\alpha^3 -2\alpha^2 +5\alpha -2} \right)^3 \end{equation}を求めよ。は2以上の整数、は虚数単位である。

を実数とし、座標平面上の点を中心とする半径1の円の周をとする。

整式を考える。

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

(1) 正の整数に対し、 \begin{equation} A_k = \int_\sqrt{k \pi}^\sqrt{(k +1) \pi} \left| \sin \left( x^2 \right) \right| dx \end{equation} とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。 \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{(k +1) \pi}} \leqq A_k \leqq …

をかつをみたす実数とする。座標空間の点Aと点Pをとる。点O(0, 0, 0)を通り直線APと垂直な平面をとし、平面と直線APとの交点をQとする。

Pを座標平面上の点とし、点Pの座標をとする。の範囲にある実数のうち、曲線上の点における接線が点Pを通るという条件をみたすものの個数をとする。かつをみたすような点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。

平面上の3点O, A, Bが

1個のさいころを回投げて、回目に出た目をとする。を \begin{equation} b_n = \sum_{k = 1}^n {a_1}^{n -k} a_k \end{equation}により定義し、が7の倍数となる確率をとする。 (1) を求めよ。 (2) 数列の一般項を求めよ。

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

Oを原点とする空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。

Oを原点とする空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。

Oを原点とする空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。

次の関数の最大値と最小値を求めよ。

(1) とをの式として表せ。

整式が恒等式 \begin{equation} f(x) +\int_{-1}^1 (x -y)^2 f(y) \, dy = 2x^2 +x +\frac{5}{3} \end{equation}を満たすとき、を求めよ。

数列は次の条件を満たしている。

方程式をみたす正の整数の組をすべて求めよ。

空間内の4点O, A, B, Cは同一平面上にないとする。点D, P, Qを次のように定める。点Dはを満たし、点Pは線分OAを1:2に内分し、点Qは線分OBの中点である。さらに、直線OD上の点Rを、直線QRと直線PCが交点を持つように定める。このとき、線分ORの長さと線分RDの…

を自然数とする。1個のさいころを回投げるとき、出た目の積が5で割り切れる確率を求めよ。

を自然数とする。1個のさいころを回投げ、出た目を順にとし、個の積をとする。

次の式の分母を有理化し、分母に3乗根の根号が含まれない式として表せ。