\begin{equation} \boldsymbol{r} = (x,y,z) \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{r} = 3 \end{equation}

を実数とし、座標平面上の点を中心とする半径1の円の周をとする。

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla r^n = n r^{n -2} \boldsymbol{r} \end{equation}

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla \left( \frac{1}{r} \right) = -\frac{\boldsymbol{r}}{r^3} \tag{2} \end{equation}

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{equation}のとき \begin{equation} \nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r} \end{equation}

\begin{equation} r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \end{equation}のとき

整式を考える。

整式を2次式 で割った余りはで、 で割った余りはで 評価できます。

黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

\begin{equation} (x -a)^2 + (y -b)^2 = r^2 \tag{1} \end{equation}で表される円周上の点Pで引いた接線の方程式は、 \begin{equation} (x_0 -a)(x -b) + (y_0 -b)(y -b) = r^2 \tag{2} \end{equation}である。

(1) 正の整数に対し、 \begin{equation} A_k = \int_\sqrt{k \pi}^\sqrt{(k +1) \pi} \left| \sin \left( x^2 \right) \right| dx \end{equation} とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。 \begin{equation} \frac{1}{\sqrt{(k +1) \pi}} \leqq A_k \leqq …

虫食いの割り算の筆算です。ただ1か所、割り切れる0を除き、全て虫食いになっています。 出典は、佐野昌一『虫喰ひ算大會』(昭和21年)の第三十會場です。 www.aozora.gr.jp

をかつをみたす実数とする。座標空間の点Aと点Pをとる。点O(0, 0, 0)を通り直線APと垂直な平面をとし、平面と直線APとの交点をQとする。

「孤独の7」とは、E. F. Odling氏の虫食い算です。 wikipedia:孤独の7 虫食いの割り算の筆算です。余りの0以外はただ1か所7が入っているのみで、あとは全て虫食いになっています。

Pを座標平面上の点とし、点Pの座標をとする。の範囲にある実数のうち、曲線上の点における接線が点Pを通るという条件をみたすものの個数をとする。かつをみたすような点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。

「孤独の8」とは、下平和夫氏の虫食い算です。『新数学事典』にあるそうです。 wikipedia:孤独の7 虫食いの掛け算の筆算です。ただ1か所8が入っているのみで、あとは全て虫食いになっています。

平面上の3点O, A, Bが

1個のさいころを回投げて、回目に出た目をとする。を \begin{equation} b_n = \sum_{k = 1}^n {a_1}^{n -k} a_k \end{equation}により定義し、が7の倍数となる確率をとする。 (1) を求めよ。 (2) 数列の一般項を求めよ。

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

を2以上の自然数とする。(1) のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

本稿では、3次曲線に向けて引ける接線の数について見ていきます。

Oを原点とする空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。

Oを原点とする空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。

Oを原点とする空間において、点Pと点Qは次の条件(a), (b), (c)を満たしている。

\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\pi (x^2 +1)} \tag{1} \end{equation}なる確率密度関数で記述される分布を標準コーシー分布といいます。

本稿では、直交座標系において長さ1の線分の両端をそれぞれ軸、軸に固定した条件で動かしてできる包絡線を求めていきます。

本稿では、直交座標系において長さ1の線分の両端をそれぞれ軸、軸に固定した条件で動かしてできる包絡線を求めていきます。

本稿では、直交座標系において長さ1の線分の両端をそれぞれ軸、軸に固定した条件で動かしてできる包絡線を求めていきます。

次の関数の最大値と最小値を求めよ。

包絡線とは曲線族と接線を共有する曲線をいいます。 例えば、媒介変数を用いて